Pela la zanahoria y el membrillo, sácale las semillas al membrillo y córtalos en trozos no muy grandes, para que se cocinen mejor. Dado que la zanahoria necesita más tiempo de cocción que el membrillo, es mejor cortarla en trozos más pequeños que el membrillo, para que cocine más rápido.

Pon a hervir el membrillo y la zanahoria en una olla, con agua suficiente para que los cubra. Añade la rama de canela y deja que hiervan por unos 20 minutos. Al cabo de ese tiempo, revisa el punto de la zanahoria y si está lista puedes apagar el fuego. Si no estuviera lista déjala hervir unos minutos más, revisándola periódicamente.

Cuando hayan enfriado un poco, cuélalos y reserva el agua de la cocción. Procésalos en una licuadora, teniendo cuidado de sacar previamente la canela, ya que sino quedarán astillas en el puré. Utiliza unas cucharadas del agua de la cocción para procesar. En la medida que lo creas necesario, agrégale más agua. También puedes utilizar una licuadora de inmersión, para trabajarlo directamente en la olla, pero debes colarlos primero, para evitar que salga muy aguado. 

Pon a calentar la mezcla procesada en una olla, a fuego lento.

Añade el azúcar y mezcla bien, si es necesario añade más azúcar, hasta alcanzar el nivel de dulce deseado.

Cuando esté más caliente la preparación, añade la mantequilla o el aceite de coco y revuelve bien para que se integre.

Apaga el fuego y déjalo enfriar antes de consumirlo, ya que es más agradable así.